Abelse

De notatie is tamelijk intuïtief : Structuurstelling voor eindige abelse groepen Een belangrijk resultaat in de theorie der abelse groepen is het volgende.

Hierop zijn twee uitzonderingen: een vrije abelse groep met een lege basis (rang 0, die de triviale groep geeft) of een vrije abelse groep met slechts 1 element in de basis (rang 1, wat de oneindige cyclische groep geeft).

Lijst van kleine abelse groepen De eindige abelse groepen kunnen gemakkelijk worden geclassificeerd: het zijn de cyclische groepen en hun directe producten daarvan.

De stelling van Mordell luidt dat een rationale elliptische kromme, opgevat als abelse groep, eindig voortgebracht is.

In een niet-abelse groep kunnen linker- en rechternevenklassen verschillen.

Voor niet-abelse galoisgroepen en hoger-dimensionale representaties daarvan, kan men nog steeds L-functies definiëren op een natuurlijke manier: Artin-L-functies.

Zij schreven een boek over de complexe vermenigvuldiging van abelse variëteiten, een onderzoeksgebied waar zij samen de basis voor hebben gelegd.

Deze stelling is in het algemeen niet geldig bij niet-abelse groepen.

De eisen houden in dat de ring ten aanzien van de optelling een abelse groep is.

De georiënteerde rand van een georiënteerde rand blijkt nul te zijn, we hebben dus een complex van abelse groepen.

Deze universele eigenschap kan ook gebruikt worden om vrije abelse groepen te definiëren.

Een abelse groep kan dus slechts enkelvoudig zijn, als hij helemaal geen (echte) deelgroepen heeft.

Meer voorbeelden van Lie-groepen * is een abelse Lie-groep.

Ringen kunnen bijvoorbeeld worden beschouwd als abelse groepen met betrekking tot de optelling, met daarbij een tweede operatie die correspondeert met de vermenigvuldiging.

Voor niet-abelse Galoisgroepen en hoger-dimensionale representaties daarvan, kan men nog steeds L-functies definiëren op een natuurlijke manier: Artin L-functies.

Abelse variëteiten behoren tot de meest bestudeerde objecten binnen de algebraïsche meetkunde.

Andere abelse groepen zijn geen vrije groepen, omdat ab in vrije groepen moet verschillen van ba, indien a en b verschillende elementen van de basis zijn.

De abelse groep van de torus wordt geïnduceerd vanuit de afbeelding C → C/Z+τZ, waar τ een parameter is.

In de theorie van de Lie-algebra 's spelen de abelse, nilpotente en oplosbare Lie algebra's een analoge rol.

Over Abelse variëteiten is hierboven al gesproken.