Aftelbaar

De verzameling natuurlijke getallen is aftelbaar oneindig, kortweg aftelbaar genoemd.

We kunnen die surjectieve functies combineren tot één surjectieve functie: : Daar aftelbaar is voor elke natuurlijke n, zal ook aftelbaar zijn.

De diepte van de studie van de algemene diofantische vergelijkingen blijkt wel uit de karakterisering van diofantische verzamelingen als recursief aftelbaar.

Deze ordinalen, en meer, zijn allemaal aftelbaar.

Er blijven zelfs nog aftelbaar oneindig veel lege kamers over!

Uit het tweede voorbeeld hierboven volgt tevens dat elke metrische ruimte eerst-aftelbaar is.

Als je gezond bent, is je toekomst aftelbaar; ben je ongezond, dan kan die erkenning je geen zak meer schelen.

Deze basis heeft bovendien de handige eigenschap dat ze uit een aftelbaar aantal delen van bestaat.

Een rij kan uit eindig of aftelbaar oneindig veel elementen bestaan.

Topologische ruimten zijn eenvoudiger te bestuderen als ze beschikken over een basis met een beperkt aantal elementen (bijvoorbeeld aftelbaar ), zelfs als de collectie van alle open verzamelingen veel groter is.

Uit het tweede voorbeeld hierboven volgt tevens dat elke metrische ruimte eerste aftelbaar is.

Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig.

Voorbeelden *De verzameling van de gehele getallen is aftelbaar.

Zo'n verzameling is dus oneindig groot, maar wel aftelbaar.

Alle aftelbaar oneindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit.

Dat kan men als volgt inzien: :Stel dat tot en met aftelbaar zijn, met n een natuurlijk getal.

De kleine letter σ geeft vaak aan dat een bekend "eindig" begrip wordt veralgemeend of versterkt tot een aftelbaar oneindige variant van dat begrip.

Er kan echter 1-op-1 een afbeelding worden gemaakt: Anders gezegd, de verzameling even getallen is aftelbaar, evenals de verzameling natuurlijke getallen, en de kardinaliteit is dezelfde.

Immers de collectie is een basis en omdat de breuken aftelbaar zijn, is de basis het ook.