Commutatieve

Eigenschappen * Een commutatieve ring is een priemring dan en slechts dan als deze commutatieve ring ook een Integriteitsdomein is.

Het ontstaan van de theorieën van de commutatieve en niet-commutatieve ringen vindt weliswaar zijn oorsprong in de negentiende eeuw, haar rijpheid bereikte de ringtheorie echter pas rond 1920.

Een merkwaardig resultaat in de commutatieve algebra is de stelling dat alle Artiniaanse ringen ook Noethers zijn.

Vandaar de definitie: het spectrum van een commutatieve Banach-algebra is de verzameling van alle complexe homomorfismen van die algebra.

Zelfs in een commutatieve ring vormen de producten van elementen uit en niet noodzakelijk een ideaal, maar het ideaal dat ze voortbrengen heet het productideaal en wordt gewoonlijk als genoteerd.

Klimatologie is niet hetzelfde als de commutatieve eigenschap voor natuurlijke getallen bewijzen.

Een hoofdideaalring is een commutatieve ring met eenheidselement waarin alle idealen hoofdidealen zijn.

Een lichaam is een speciaal geval van een commutatieve ring zonder nuldelers.

Belangrijke voorbeelden van commutatieve ringen kunnen worden geconstrueerd als ringen van veeltermen en hun factorringen.

De groepsbewerking is het (niet- commutatieve ) product van matrices.

De moderne definitie van de Zariskitopologie situeert zich in de verzameling van alle priemidealen van een commutatieve ring met eenheid.

Een ideaal van een niet-commutatieve ring dat aan de oorspronkelijke, strengere voorwaarden voldoet, heet compleet priemideaal.

Er zijn verschillende definities voor commutatieve ringen opgesteld met als doel om de eigenschappen, bekend van de gehele getallen te herstellen.

Formele definitie Laat R een commutatieve ring zijn.

Gegeven een ideaal I van een commutatieve ring, dan bestaat het radicaal van I uit alle elementen van die ring waarvan een macht in I ligt.

Heisenberg kwam uit op een vergelijking waarbij voor bepaalde grootheden de commutatieve eigenschap blijkbaar niet geldig is.

In de commutatieve algebra is het belangrijk dat zowel idealen als quotiëntringen modulen zijn, zodat vele argumenten over idealen of quotiëntringen kunnen worden gecombineerd tot een enkel argument over modulen.

Met iedere open verzameling (dat wil zeggen de priemidealen die een gegeven ideaal niet omvatten) wordt een commutatieve ring met eenheidselement geassocieerd.

Voor commutatieve ringen en voor de twee klassen van ringen die hierboven worden genoemd vallen deze concepten samen, maar in het algemeen zijn ze verschillend.

Voor niet-commutatieve ringen is ze minder streng.