Continuümhypothese

De continuümhypothese is op haar beurt gelijkwaardig met de gelijkheid : Er bestaat ook een veralgemening van de continuümhypothese, die de gegeneraliseerde continuüm hypothese (GCH) wordt genoemd.

Anderen blijven zoeken naar "natuurlijke" of "plausibele" axioma's die, gecombineerd met ZFC, ofwel een bewijs ofwel een weerlegging van de continuümhypothese zullen toestaan.

De moeilijkheid die Cantor ondervond bij zijn poging de continuümhypothese te bewijzen worden door latere ontwikkelingen in de wiskunde in een nieuw daglicht gesteld.

Zonder de continuümhypothese kunnen er oneindig veel 's liggen tussen en C. Beide mogelijkheden zijn even aannemelijk: de ene is niet meer of minder waar dan de andere.

Binnen een kleine groep logici die zich met de grondslagen van de wiskunde bezighouden, vindt debat plaats over de status van de continuümhypothese.

De continuümhypothese speelde daarin geen rol; de gangbare axioma’s bleken voldoende om de bewijzen te kunnen leveren.

Cantor stelde de continuümhypothese als een mogelijk antwoord op deze vraag voor.

Dat wil zeggen, noch de continuümhypothese noch haar ontkenning kan uit de bestaande axioma's bewezen worden.

Er zijn ten minste twee andere axioma's voorgesteld die implicaties hebben voor de continuümhypothese, hoewel deze axioma's momenteel geen brede acceptatie vinden binnen de wiskundige gemeenschap.

Zijn onvermogen om de continuümhypothese te bewijzen veroorzaakte bij Cantor aanzienlijke psychische onlustgevoelens die zijn, in de grond al labiele, geest geen goed deden.

Cohen werd vooral beroemd om zijn bewijs in 1963 dat zowel de continuümhypothese als het keuzeaxioma onafhankelijk zijn van de gebruikelijke Zermelo-Fraenkel-axioma's van de verzamelingenleer.

De continuümhypothese is het vermoeden dat dit niet het geval is.

De rationale getallen vormen schijnbaar een tegenvoorbeeld van de continuümhypothese: de rationale getallen vormen aan de ene kant een superset van de gehele getallen en aan de andere kant een deelverzameling van de reële getallen.

In 1940 publiceerde hij zijn Consistentie van het keuze-axioma en van de veralgemeende continuümhypothese met de axioma’s van de verzamelingenleer, dat een klassieker is van de moderne wiskunde.