Differentieerbare

Naargelang de gekozen klasse spreekt men van een topologische variëteit ( homeomorfismen ), een differentieerbare of gladde variëteit ( diffeomorfismen ) of een complexe variëteit (complex differentieerbare homeomorfismen).

Beschouw de deelruimte der continu differentieerbare complexwaardige functies op het gesloten eenheidsinterval.

Zoals op elke variëteit zijn de 0-vormen de onbeperkt differentieerbare reële functies.

Dat betekent dat een dergelijke variëteit M vanuit topologisch oogpunt weliswaar een sfeer is, maar vanuit het oogpunt van haar differentieerbare structuur juist geen sfeer is.

De afbeelding die elk reëel getal op zijn derde macht afbeeldt : is een onbeperkt differentieerbare bijectie, en tevens een homeomorfisme, maar geen diffeomorfisme.

De classificatie van complexe variëteiten is veel subtieler dan die van differentieerbare variëteiten.

Er bestaan een aantal verschillende typen van differentieerbare variëteiten.

Hij toonde aan dat er ten minste 7 differentieerbare structuren op de 7-sfeer bestaan.

Holomorfe functies zijn bijvoorbeeld oneindig differentieerbaar, een feit dat absoluut niet het geval is voor reële differentieerbare functies.

Informeel kan men zeggen dat er op elke differentieerbare variëteit een Riemann-metriek bestaat.

Ze leveren een onbeperkt differentieerbare bijectie tussen enerzijds de open balk : en anderzijds de rotaties die de Z-as niet invariant laten.

Zo gebruikt men de termen "differentieerbare variëteit" en "gladde variëteit" door elkaar heen.

Als de kaarten voldoende compatibel zijn (wat wil zeggen dat de overgang van de ene naar de andere kaart differentieerbaar is), dan zijn berekeningen die in een kaart zijn gedaan ook valide in enige andere differentieerbare kaart.

Clifford Taubes heeft als eerste aangetoond dat er een continuüm van niet-diffeomorfe differentieerbare structuren van R 4 bestaat.

De kleinere deelruimte (onbeperkt continu differentieerbare functies) vormt een kern voor T. Ook de nog kleinere deelruimte der veeltermfuncties is een kern.

Differentiaaltopologie onderzoekt eigenschappen van "gladde" ruimten die ongewijzigd blijven bij "gladde" (dat wil zeggen onbeperkt differentieerbare ) vervormingen.

Inverse Volgens de inverse-functiestelling is de jacobi-matrix van de inverse van een inverteerbare differentieerbare functie de inverse van de jacobi-matrix van de functie zelf.

Zo gebruikt men de termen "differentieerbare variëteit" en "gladde variëteit" door elkaar.