Equivalentierelatie

Dat wil zeggen: als een equivalentierelatie is volgens de eerste definitie, dan is ook een equivalentierelatie volgens de tweede definitie en vice versa.

Aangezien een bi-implicatie een equivalentierelatie is, kan elk voorkomen van vervangen worden door zonder de waarheidswaarde van een formule te veranderen.

De onderliggende verzameling van het quotiëntenlichaam bestaat uit de equivalentieklassen van deze equivalentierelatie en wordt Q(R) genoteerd.

De relatie is-gelijk-aan is bovendien het meest voor de hand liggende voorbeeld van een equivalentierelatie.

De topologie van deze normfunctie is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Het is eenvoudig in te zien dat de gelijkheid een equivalentierelatie vormt op en een getal in de theorie van Conway is dus Equivalentieklasse (met hoofdletter!) van deze relatie.

Kardinaalgetallen De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd; gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen.

Verder maakt elk element van G deel uit van precies één linker nevenklasse van H. De linker nevenklassen zijn de equivalentieklasses die corresponderen met de equivalentierelatie a 1 ~ a 2 dan en slechts dan als a 1 −1 a 2 in H is.

De axioma's die de equivalentierelatie bepalen (met name de reflexiviteit, de transitiviteit en de symmetrie) horen eigenlijk niet echt bij de beta-gelijkheid en worden de axioma's van de gelijkheid genoemd, niet te verwarren met α-, β- en η-gelijkheid.

Een equivalentierelatie is een homogene tweeplaatsige relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is.

Voorbeelden *De relatie ‘heeft dezelfde absolute waarde’ is een equivalentierelatie op de gehele getallen.