Hausdorff in een zin

De Stone-Čech-compactificatie βX van een topologische ruimte X is de grootste compacte Hausdorff-ruimte die wordt "gegenereerd" door X, in de zin dat elke afbeelding van X op een unieke manier door βX op een compacte Hausdorff-ruimte factoriseert.

Ook introduceerde hij de begrippen die nu Hausdorff-maat en Hausdorff-dimensie worden genoemd.

Pseudometrische ruimten zijn in het algemeen geen Hausdorff-ruimten, maar prereguliere ruimten, en zij worden in de analyse meestal alleen gebruikt in de constructie van Hausdorff-ijkruimten.

Om precies te zijn, als men een compacte Hausdorff-ruimte K inbed in een willekeurige Hausdorff-ruimte X, dan zal K altijd een gesloten deelverzameling van X zijn; de "omringende ruimte" doet er hier niet toe.

Wanneer analisten een niet-Hausdorff ruimte tegenkomen, is deze waarschijnlijk ten minste preregulier, en vervangen zij deze ruimte door de Kolmogorov-ruimte, die weer wel Hausdorff is.

Aan de andere kant zijn de resultaten die alleen over reguliere ruimten gaan, niet van toepassing op niet-reguliere hausdorff-ruimten.

De Zariskitopologie van is Hausdorff als en slechts als een eindig lichaam is.

Er bestaan vele resultaten voor topologische ruimten die zowel voor reguliere als hausdorff-ruimten opgaan.

Er bestaan voorbeelden van niet-reguliere Hausdorff-ruimten.

Er zijn echter vele onregelmatige verzamelingen die niet een gewone dimensie hebben, maar wel een niet-geheeltallige Hausdorff-dimensie.

In het algemeen is elke metrische ruimte een Hausdorff-ruimte.

Meer in het algemeen geldt dat alle metrische ruimten Hausdorff-ruimten zijn.

Ze blijkt steeds Hausdorff te zijn en maakt dus van een topologische vectorruimte.

Zij komen ook voor in de modeltheorie van de intuïtionistische logica : elke volledige Heyting-algebra is de algebra van open verzamelingen van enige topologische ruimten, maar deze ruimte hoeft niet preregulier te zijn, laat staan Hausdorff.

Dit kan door te beginnen met een niet-Hausdorff ruimte.

Geschiedenis Het maximaal-principe van Hausdorff is een vroegere formulering, die vergelijkbaar is met het lemma van Zorn.

Het lemma is breed toepasbaar, omdat alle metrische ruimtes en alle compacte Hausdorff-ruimten normaal zijn.

In het hieronderstaande zullen we aannemen dat alle groepen voldoen aan de Hausdorff -eigenschap.

Toch is niet elke topologische ruimte een Hausdorff-ruimte.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden Bijna alle ruimten die voorkomen in de analyse zijn Hausdorff-ruimten.