Hilbertruimte

Het algemeen resultaat, dat de duale van een hilbertruimte wordt geïdentificeerd met de hilbertruimte zelf, kan worden gevonden in (Riesz (1934)).

Deze hilbertruimte noemt men lebesgueruimten ( ).

Een van de open problemen in de functionaalanalyse is het vinden van een bewijs dat elke begrensde lineaire operator op een Hilbertruimte een gepaste invariante deelruimte heeft.

Een Hilbertruimte is dan een volledige prehilbertruimte.

Bovendien kan een vectorruimte waarop bijvoorbeeld een groep wordt weergegeven oneindig dimensionaal zijn, en door bijvoorbeeld toe te staan, dat het een Hilbertruimte is, kunnen methoden uit de analyse worden toegepast op de groepentheorie.

De ronde bal wordt opgevat als de gebruikelijke Hilbertruimte -norm, in het eindig-dimensionale op Euclidische afstand gebaseerde geval is het grensvlak van deze ronde bal dat wat meestal wordt bedoeld met de eenheidsbol.

Dit is alleen zo wanneer de duale ruimte van een ruimte isomorf is met de ruimte zelf, wat bij een Hilbertruimte (zoals de ruimte waarin alle kwantummechanische toestanden zitten) inderdaad zo is.

Het gaat dan om de, op isometrie na unieke, oneindigdimensionale separabele Hilbertruimte over de complexe getallen.

Interpretatie In de Schrödinger-formulering van de kwantummechanica komen fysische eigenschappen van het systeem overeen met zelftoegevoegde operatoren op een Hilbertruimte.

Het is wel een gesloten operator in de zin dat zijn grafiek : een gesloten deelverzameling is van het Cartesisch product van de Hilbertruimte met zichzelf.

Het prototypische voorbeeld van een C*-algebra is een complexe algebra A van lineaire operatoren op een complexe Hilbertruimte met twee extra eigenschappen: * A is een topologische gesloten verzameling in de normtopologie van de operatoren.

Ook iedere oneindig-dimensionale separabele hilbertruimte heeft een schauderbasis, die bovendien orthonormaal kan gekozen worden.

Opmerkingen Convergentie Convergentie in de Hilbertruimte betekent dat: : We spreken van convergentie in norm, of ook van convergentie in kwadratisch gemiddelde.