Holomorfe in een zin

Intuïtief kan men een meromorfe functie dus opvatten als een ratio van twee zich "goed-gedragende" (holomorfe) functies.

Op een niet-compact riemann-oppervlak kan elke meromorfe functie worden gerealiseerd als een quotiënt van twee (globaal gedefinieerde) holomorfe functies.

De holomorfe functies op open deelverzamelingen van X, met de gewone restrictie van functies, vormen een schoof.

Dit is ook omdat een belangrijk resultaat uit de complexe analyse is dat elke holomorfe functie complex-analytisch is, een feit dat niet direct uit de definities voortvloeit.

Elke holomorfe functie is analytisch.

Elke meromorfe functie op D kan worden uitgedrukt als de verhouding tussen twee holomorfe functies (met de noemer niet constant 0) gedefinieerd op D: de polen komen dan voor op de nullen van de noemer.

Het lemma van Schwartz is een van de minder moeilijke resultaten, die de rigiditeit van holomorfe functies aantoont.

Hogere dimensies In de theorie van functies van meer complexe variabelen wordt een meromorfe functie lokaal gedefinieerd als een quotiënt van twee holomorfe functies.

Holomorfe functies zijn bijvoorbeeld oneindig differentieerbaar, een feit dat absoluut niet het geval is voor reële differentieerbare functies.

Vandaag de dag prefereren vele wiskundigen de term "holomorfe functie" boven "analytische functie", aangezien de laatste term een meer algemeen concept is.

Voorbeelden *Als f enige holomorfe functie op het hele complexe vlak is, dan is de beperking van f op de reële as een hyperfunctie, vertegenwoordigd door ofwel (f, 0) dan wel (0, -f).

Formulering Wij willen dat een hyperfunctie op de reële lijn het "verschil" tussen een holomorfe functie op het bovenhalfvlak en een andere op het onderhalfvlak aangeeft.

Holomorfe functies worden ook wel reguliere functies genoemd.

Voor elke Riemann-oppervlak is een meromorfe functie hetzelfde als een holomorfe functie die afbeeldt op het Riemann-oppervlak en die niet constant ∞ is.