Kardinaliteit

Zijn bewijzen geven echter geen indicatie van de mate, waarin de kardinaliteit van de natuurlijke getallen kleiner is dan de kardinaliteit van de reële getallen.

Zo blijft er slechts een mogelijkheid over, en dat is dat de kardinaliteit van P(N) strikt genomen groter is dan de kardinaliteit van N, waarmee de stelling van Cantor wordt.

Je zou zeggen dat de ene oneindige reet even groot zou zijn als de andere oneindige reet, maar daar kan dus een verschil in kardinaliteit tussen zitten.

Algemeen geldt dat de machtsverzameling een hogere kardinaliteit heeft dan de verzameling zelf.

Daarmee ontstaat de mogelijkheid steeds klassen van hogere kardinaliteit te vormen.

Het transfiniete getal is de kardinaliteit van de natuurlijke getallen, van de gehele getallen, van de rationale getallen en van de algebraïsche getallen.

Zijn er verzamelingen die een kardinaliteit hebben die tussen deze twee waarden in ligt?

Aangezien de natuurlijke getallen een kardinaliteit hebben, heeft elk reëel getal cijfers in haar decimale uitbreiding.

Een verzameling is dan en slechts dan oneindig als voor elk natuurlijk getal de verzameling een deelverzameling heeft, waarvan de kardinaliteit gelijk is aan dit natuurlijk getal.

De kardinaliteit van de basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd.

Sommige verzamelingen hebben een oneindige kardinaliteit.

Door het vaststellen van de kardinaliteit die op een bepaalde relatie van toepassing is, wordt een zo getrouw mogelijke beschrijving van de werkelijkheid gespecificeerd.

Het aantal elementen in een verzameling noemt men de kardinaliteit van de verzameling.

In de elementaire verzamelingenleer stelt de stelling van Cantor, dat voor enige verzameling A, de verzameling van alle deelverzamelingen van A (de machtsverzameling van A) strikt genomen een grotere kardinaliteit heeft dan A zelf.

Kardinaalgetallen De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd; gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen.

Laatstgenoemde kardinaalgetal wordt vaak aangeduid door ; het is de kardinaliteit van het continuüm (de verzameling van reële getallen).

Oneindige verzameling Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen elk element van de eindige verzameling op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet).

Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig.

Wij hebben dus een kardinaliteit (namelijk die van 2 C ) laten zien, die groter is dan C, waarvan juist werd aangenomen dat dit het grootste kardinaalgetal was.

Alle aftelbaar oneindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit.