Kegelsnede

In het bijzonder, bij ligging van een punt S op de kegelsnede, induceren de koordes die vanuit S onder een rechte hoek worden gezien een involutie op de kegelsnede.

De reductie van een kegelsnede behelst het draaien en/of verschuiven van het xy-assenkruis zodat de vergelijking van de kegelsnede tot een eenvoudige en herkenbare standaardvorm wordt herleid.

Matrixvergelijking van een kegelsnede De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm: : waarbij a, b en c niet samen nul zijn.

De kegelsnede met vergelijking ontaardt enkel en alleen als : De determinant heet de kubische determinant van de kegelsnede.

Een driehoek waarvan elke zijlijn een poollijn is van het overstaande hoekpunt ten opzichte van een kegelsnede K, heet een pooldriehoek van K en de kegelsnede een poolkegelsnede van de driehoek (zie figuur 1).

Als de vergelijking niet de lege verzameling representeert, representeert deze wel altijd een kegelsnede, eventueel een ontaarde (een punt, een rechte of twee snijdende rechten, zie ook onder).

Dan is de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot het vaste punt gelijk is aan keer de afstand tot de vaste rechte een kegelsnede.

De dubbelverhouding is onafhankelijk van de stand van het punt op de kegelsnede, daardoor is de dubbelverhouding ondubbelzinnig bepaald.

We leiden het ontstaan van de Apollonius-hyperbool af en bespreken enkele eigenschappen (oa. die welke samenhangen met bij een kegelsnede).

Het tweede dekpunt van die projectiviteit is dan het tweede snijpunt van de lijn en de kegelsnede.

In de figuur zijn P en p opvolgend de pool en poollijn bij een kegelsnede (door A en B).

Het Frégier-punt van een punt op een cirkel is het middelpunt van die cirkel. [2] Als de kegelsnede een parabool is, dan ligt het midden van het lijnstuk SF op de as van de parabool (zie figuur F3).

Bijvoorbeeld: : Na deze bewerkingen staat de vergelijking van de kegelsnede in een standaardvorm.

De volgende tabel toont hoe uit sommige baanelementen volgt wat voor type kegelsnede de baan is.

Deze tweede stelling betreft de algemene meetkundige definitie van een kegelsnede: :Gegeven een rechte d, richtlijn genoemd, en een punt F, brandpunt genoemd, dat niet op d ligt.

In het verschoven zwarte assenstelsel heeft de hyperbool een standaardvergelijking De kegelsnede K: : heeft als matrixvorm: : Aan de determinant van A, die negatief is, is te zien dat dit een hyperbool voorstelt.

Invariante kegelsnedes Het beeld van een kegelsnede onder isogonale verwantschap is in het algemeen een vierdegraads kromme.

Meetkundig betekent de rotatie van het assenkruis dat de assen zodanig gedraaid worden dat een van beide evenwijdig is aan de hoofdas van de kegelsnede, en de andere as er loodrecht op staat.

Raakt een kegelsnede aan de vier zijden, dan ligt zijn middelpunt ook op deze rechte.

De coördinaten van het middelpunt van zo'n kegelsnede met vergelijking zijn de oplossingen van het stelsel : Ontaarde kegelsneden Behalve deze 'standaard' kegelsneden zijn er ook nog ontaarde kegelsneden.