Polynomiale

Of met andere woorden: als je een probleem in polynomiale tijd kunt oplossen, kun je het ook verifiëren in polynomiale tijd.

Immers, P-problemen kunnen in polynomiale tijd opgelost worden en dus per definitie ook in niet-deterministisch polynomiale tijd.

Het wordt vaak gedacht dat NP voor 'niet-polynomiaal' staat, en dat de klasse NP dus uit de problemen bestaat die niet in polynomiale tijd op te lossen zijn, maar dit is incorrect.

Hoewel voor veel van deze problemen geen polynomiaal algoritme bekend is, geldt voor alle NP problemen dat een gegeven kandidaat-oplossing wel in polynomiale tijd gecontroleerd kan worden op correctheid (NP staat voor 'niet-deterministische polynomiaal').

NP-volledige problemen zijn problemen die in de complexiteitsklasse NP liggen en waarvoor bovendien geldt, dat ieder probleem in NP in polynomiale tijd ertoe gereduceerd kan worden.

Wel is het zo dat wanneer een oplossingsvector is gevonden, deze in polynomiale tijd kan worden geverifieerd.

Een voorbeeld van super-polynomiale tijd is exponentiële tijd.

De klasse P Over het algemeen worden die (oplosbare) problemen als "makkelijk" beschouwd, die een polynomiale tijdscomplexiteit hebben.

Dit kan als volgt in de algebraïsche meetkunde worden vertaald: elke algebraïsche verzameling over een veld kan worden beschreven als de verzameling van gemeenschappelijke wortels van een eindig aantal polynomiale vergelijkingen.

Er is bewezen dat ieder probleem in de verzameling van NP-problemen in polynomiale tijd omgeschreven kan worden naar een NP-volledig probleem.

In 1971 bewees hij dat er beslissingsproblemen bestaan waartoe alle NP -problemen in polynomiale tijd gereduceerd kunnen worden.

Met deze methode is het mogelijk in polynomiale tijd te bepalen of een getal een priemgetal is.

Over het algemeen is het vinden van een Hamilton-cykel in een graaf een NP-volledig probleem, dit in tegenstelling tot de Euler-cykel waar het probleem in polynomiale tijd kan worden opgelost dankzij de bovengenoemde regels.

Tests als de Miller-Rabin-priemgetaltest kunnen ook in polynomiale tijd testen of een getal al dan niet priem is, maar leveren een antwoord met slechts een bepaalde mate van zekerheid (er is 99,..

Bovendien is de stelling ook niet fundamenteel in de moderne algebra : de naam werd gegeven in een tijd toen algebra zich beperkte tot het oplossen van polynomiale vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten.

Dit algoritme gaat in de polynomiale tijd O(nG), wat in de limiet veel sneller is dan de theoretische exponentiële tijd.

Er waren wel eerder sluitende priemgetaltests bekend die in exponentiële tijd werkten, maar nog niet eerder in polynomiale tijd.

Het probleem 2-SAT is niet NP-volledig maar NL-volledig; het probleem 2-SAT kan ook in polynomiale tijd opgelost worden.

In de complexiteitstheorie is PSPACE een complexiteitsklasse die alle beslissingsproblemen bevat die met polynomiale ruimte opgelost kunnen worden.

Twee van elkaar verschillende polynomen kunnen dus eenzelfde bijbehorende polynomiale functie hebben.