Vectorruimten

Genormeerde vectorruimte Als X en Y genormeerde vectorruimten zijn, dan kunnen de duale vectorruimten X * en Y * ook worden opgevat als genormeerde vectorruimten.

De stelling laat ook zien dat er "genoeg" continue lineaire functionalen zijn gedefinieerd op elke genormeerde vectorruimten om de studie van de duale vectorruimten interessant te maken.

Genormeerde vectorruimten zijn dus op natuurlijke wijze topologische vectorruimten.

In metrische topologische vectorruimten heeft het adjectief "begrensd" zijn gewone betekenis, in algemenere topologische vectorruimten geldt een aangepaste definitie.

Aanvankelijk werden klassen van topologische vectorruimten in het leven geroepen om nauwkeurige uitspraken te kunnen doen over de convergentie van functies.

De reden voor het werken met willekeurige vectorruimten in plaats van is dat het vaak de voorkeur verdient om op een coördinaten-vrije manier te werken (dat is zonder een voorkeursbasis te kiezen).

Dergelijke vectorruimten zijn altijd even-dimensionaal.

In de rest van dit artikel gaan we ervan uit dat vectorruimten altijd over het scalairenlichaam der reële of complexe getallen gedefinieerd zijn.

Indien het duidelijk is dat er met vectorruimten wordt gewerkt, spreekt men ook gewoonweg van morfismen en isomorfismen.

Lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten worden vaak operatoren genoemd, vandaar de naam gesloten operator.

Thans is een goed begrip van onder meer de kwantummechanica onmogelijk zonder een grondige studie van de eigenschappen van topologische vectorruimten.

Twee eindigdimensionale vectorruimten zijn isomorf dan en slechts dan als hun dimensies gelijk zijn.

De operatorentheorie bestudeert lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten.

De afbeelding : is een isomorfisme van vectorruimten.

De operatorentheorie bestudeert al dan niet continue lineaire afbeeldingen tussen topologische vectorruimten.

In de wiskunde is een bilineaire afbeelding (of ook bilineaire operator) een functie die de elementen van twee vectorruimten combineert en dat als resultaat een element van een derde vectorruimte oplevert, die in elk van zijn argumenten lineair is.

Maar de abstracte studie van vectoren en vectorruimten begint pas in de jaren 1600.

Men kan echter wel de directe som van twee modulen over eenzelfde ring R (of twee vectorruimten over eenzelfde lichaam k) definiëren, en het resultaat is opnieuw een moduul over R (resp. een vectorruimte over k).

Ook werden in die tijd de eerste studies naar oneindig-dimensionale vectorruimten uitgevoerd.

Op een soortgelijke wijze vormen de oplossingen van homogene lineare differentiaalvergelijkingen vectorruimten.