Isomorf

Als twee ringen R 1 en R 2 ringisomorf zijn, dan zijn hun corresponderende tegenovergestelde ringen ook isomorf. de tegenovergestelde ring van de tegenovergestelde ring van een ring is isomorf met die ring.

Alle groepen van orde twee zijn als groep isomorf (de groep als abstracte structuur wordt onder meer genoteerd als Z 2 ).

Als twee wiskundige objecten isomorf zijn, dan is elke eigenschap, waarvan de structuur bewaard blijft door een isomorfisme en die geldt voor een van de twee wiskundige objecten, ook geldt voor het andere wiskundige object.

Een algemene Banachruimte en haar biduale hoeft zelfs niet op enige wijze isometrisch isomorf te zijn, dit in tegenstelling tot de eindige-dimensionale situatie.

Het quotiëntenlichaam is het kleinste lichaam dat R omvat, in de zin dat ieder lichaam dat R omvat, een deellichaam heeft dat isomorf is met Q(R).

Twee eindigdimensionale vectorruimten zijn isomorf dan en slechts dan als hun dimensies gelijk zijn.

Eenheidsquaternionen vormen een groep die isomorf is met de groep van alle rotaties in 3D.

Indien dit object de topologische eigenschappen van X moet beschrijven, is het redelijk te eisen dat een homeomorfe kopie X 0 van X een object A(X 0 ) oplevert dat isomorf is met A(X).

Omdat ze dus isomorf zijn, hebben ze dezelfde algebraïsche eigenschappen.

De bijhorende factorgroep blijkt isomorf te zijn met het beeld van het homomorfisme.

De factorgroep is isomorf met de oorspronkelijke groep.

Dit is alleen zo wanneer de duale ruimte van een ruimte isomorf is met de ruimte zelf, wat bij een Hilbertruimte (zoals de ruimte waarin alle kwantummechanische toestanden zitten) inderdaad zo is.

Door de Cayley-tabellen van twee groepen te vergelijken, is na te gaan of zij isomorf zijn.

Equivalent is de inversie : De Lie-algebra van bovenstaande groep in D dimensies is isomorf met in het geval bij een Euclidische resp. Lorentz-metriek.

In het geval van computers zijn twee machines functioneel isomorf dan en slechts dan als de sequentiële relaties tussen toestanden in de ene computer exact kunnen worden gespiegeld door sequentiële relaties in de andere.

Omgekeerd, zal men het gewoonlijk als een milde triomf beschouwen, wanneer een ingewikkelde structuur plots gelijkwaardig (bijvoorbeeld isomorf ) blijkt te zijn met de directe som van eenvoudiger structuren.

Volgens de stelling van Cayley is iedere groep isomorf met een permutatiegroep.

Als H isomorf is met de groep der gehele getallen, dan noemt men R een discrete valuatiering.

Dit wordt isomorf genoemd.

Dus een computer die bestaat uit chips gemaakt van siliconen en een die bestaat uit tandwielen kunnen toch functioneel isomorf zijn.